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自然数原理提纲  

2013-10-13 21:28:07|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 自然数原理(提纲)      

                                                     作者:李铁钢

 

{概述}  自然数是数学中,图形与数字的最基本概念。深入探讨自然数的规律可以形成自然数内在规律的一套完整的体系,进而发展成一门新的数学分支。自然数作为数学一大支柱,这一研究成果具有划时代的意义。我们的祖先对自然数的规律就有着深刻的认识,比如河图。本文发现并总结了自然数中几个最基本的规律,展现给世人以便深入的研究和应用。

                                      

 

第1章   自然数排序的规律

 

第一节 定义

 

定义1   全部自然数只需用三个数1、2、3组成一组等差数列来表示,即

          (n - 1)3+3

          (n - 1)3+2

(n - 1)3+1         

其中,n为项数   n = 1、2、3……∞       (公式1)

       我们把1称作单位,那些除去1和自身外没有其它因子的数成为素数、记作p,大于1的非素数称为合数、记作h。

 

用(公式1)可以写出以下一组数字,即

1       4  7  10  13  16  19  22  25  28  31  34  37  40  43    …

2       5  8  11  14  17  20  23  26  29  32  35  38  41  44    …

3       6  9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  39  42  45    …

分析这组数字可以得到以下基本性质,

 

第二节 性质

 

性质1

30个数为一组,一组可设项数为n ,公式1可以扩展为下式,

(n-1)30+1

(n-1)30+2

(n-1)30+3

……

(n-1)30+30       其中,n为项数 n = 1、2、3 …… ∞     (公式2)

用此方法这个公式可以在纵向以30、300、3000…无限扩大,横向以1、2、3…至无穷大。

 

性质2

公式2中,尾数是1、7、11、13、17、19、23、29这八个公式包含了除2、3、5以外的全部素数和由这些素数形成的合数,如下式表示:

(n-1)30+1

(n-1)30+7

(n-1)30+11

(n-1)30+13

(n-1)30+17

(n-1)30+19

(n-1)30+23

(n-1)30+29       其中,n为项数 n = 1、2、3 …… ∞    (公式3)

 

其中,公式1我们称之为自然数基本公式,而前九个数适当的交换位置就是中国古老的河图。

 

小结

自然数可以用多个一组的等差数列来表示。这是自然数的基本规律。

         

 

第2章   自然数的分类

 

第一节   自然数的分类公式

 

    利用公式1,项数所具有的奇偶性,可以推导出下面的公式

6N+3

6N+2

6N+1

6N

6N-1

6N-2          其中,N为项数 N = 1、2、3 …… ∞      (公式4)

   

我们称(公式4)为自然数分类公式。

 

此公式是由六个一组的等差公式改换的特殊形式。

 

 

第二节 分类的意义

 

我们知道自然数按个位数上的奇偶性,可以把自然数分为两大类,奇数和偶数。偶数一定是可以被2整除的,而奇数就复杂多了。不能被2整除,但是有些数可以被3、5、7等等数整除。我们在小学做除法时,就往往不知道这个数可以不可以被几整除而胡猜,往往会耽误很长时间不知道如何处理。我的这个方法,先把自然数分类,再做除法就会方便一些。

 

   公式\项数  1  2   3   4   5   6   7   8  ……

6N+3  9、15、21、27、33、39、45、51 ……

6N+2  8、14、20、26、32、38、44、50 ……

6N+1  7、13、19、25、31、37、43、49 ……

6N    6、12、18、24、30、36、42、48 ……

6N-1  5、11、17、23、29、35、41、47 ……

6N-2  4、10、16、22、28、34、40、46 ……

 

第一类,数列6N+3里的数,9、15、21、27、33、39、45、51 ……它们外观的特点,不论这个数有多大,个位、十位、百位、千位……,加到一起,是3的倍数。就是说这个数列里的数一定含有因子3,即都可以被3整除。

当然,这些数里有些数也可以被5、7、11……等素数整除。但是。我们有一个原则,取数列里最小的那个素数,为这组数的根素数。就是说这组数列里的数,都是那个最小的素数的衍生物。

可这样表示:6×7N+7,N=1、2、3……∞。7、49、91……

            6×11N+11, N=1、2、3……∞。11、143……

我们把数列6N+3里的数称为,含3的奇数。

 

第二类,数列6N+2和6N-2里的数,很明显都含因子2,我们很熟悉,就称它为:真偶数。

 

第三类,数列6N里的数,太明显了,含有6的倍数,可以被2、3或6整除。我们称它:奇偶数。

 

第四类,数列6N+1和6N-1里的数。这两个公式里的数最复杂,精华就在这里。以后我们就是要详细的分析它里面素数所隐含的规律。我们把这类数称之为:含素数。

这样,我们就把自然数分成了4大类别,含3奇数、真偶数、奇偶数和含素数。

 

第三节 数列间的换算

6N+2=(6A+1)+(6B+1) A是前项,B是后项。

6N-2=(6A-1)+(6B-1)

6N=(6A+1)+(6B-1)=(6A-1)+(6B+1)

公式间的关系显示了偶数和奇数间的关系。

 

第3章   数列6N-1和数列6N+1的意义   

将公式4简化为

6N+1

6N-1     其中,N为项数 N = 1、2、3 …… ∞          (公式5)

  我们称(公式5)为含素数公式。

 

写出1组数字,是   

7  13  19  25  31,  37  43  49  55  61,67……

5  11  17  23  29,  35  41  47  53  59,65……

 

第4 章  如何寻找素数

 

第一节   公式来源

 

1、 在数列6N+1里,我们假设合数H=6N+1是由两个素数的乘积组成,

即a=6x+1和b=6y+1,如下

H=a×b=(6x+1)(6y+1)=36xy+6x+6y+1=6N+1

整理后,得

x(6y+1)+y = N                       (公式4-1)

其中,x是第一个素数所在的项数,y是第二个素数所在的项数。当然,实际应用中它们也可是合数,但是可以追到最初的那个素数,我们这个素数称为根素数。

同样,在数列6N+1里,还有由数列6N-1上两个素数的乘积形成的合数,

即a=6x-1和b=6y-1, 如下

H=a×b=(6x-1)(6y-1)=36xy-6x-6y+1=6N+1

整理后,得

x(6y-1)-y = N                       (公式4-2)

 

2、在数列6N-1里,我们假设合数H=6N-1是由两个素数的乘积组成,

即a=6x-1和b=6y+1,如下

H=a×b=(6x-1)(6y+1)=36xy+6x-6y-1=6N-1

整理后,得

x(6y+1)-y = N                       (公式4-3)

其中,x是第一个素数所在的项数,y是第二个素数所在的项数。当然,实际应用中它们也可是合数。

同样,在数列6N-1里,还有分别由数列 6N+1和6N-1上两个素数的乘积形成的合数,

即a=6x+1和b=6y-1, 如下

H=a×b=(6x+1)(6y-1)=36xy-6x+6y-1=6N-1

整理后,得

x(6y-1)+y = N                       (公式4-4)

 

N = x(6y+1)+y

N = x(6y-1)-y

N = x(6y+1)-y

N = x(6y-1)+y                               (公式6)

 

公式6称为合数分布公式

 

第二节   素数分布规律

 

我们知道数列6N+1  N = 1、2、3…. 里 既有合数也有素数,但其合数的分布规律满足这两个方程,x(6y+1)+y =N 和x(6y-1)-y =N   其中,x=1、2、3….. y=1、2、3…..

 

那些N满足这两个方程其中之一使其成立的,把N代入6N+1 得到的数都是合数。

那些N不能不能同时满足这两个方程,使方程不能成立的,把N代入6N+1 得到的数都是素数。

 

对于数列6N-1  N = 1、2、3…. 它的判别式是

x(6y-1)+y =N 和x(6y+1)-y =N使用其中其一即可。坐标上不同。

 

项数N是从1、2、3 …… 无穷多的,剥离那些合数项N后剩下的就是素数项N,把N代入公式6N+1或6N-1就得到了素数。

这个方法还可以反向进行,如,在6N+1里即有一个N,代入公式x(6y+1)+y =N 和x(6y-1)-y =N  公式有解的就是合数项,无解的就是素数项。

 

 

第5章  公式应用   

  

第一节   孪生素数对

 

看自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31……,(5,7)、(11,13)、(17,19)、

(27,29)……是由两个素数组成的数对,它们相差2.问题是这种数对,在自然数里是有无穷多对,还是到了一定的数量后就消失?这是一个在数论里最古老的问题之一。现在我们就试图回答这个问题。

利用含素数公式,

6N+1

6N-1          N = 1、2、3……∞         写出一组数字,如

 

项数N   1   2   3   4    5   6   7   8   9    10    11……

6N+1    7  13  19  25   31  37  43  49  55    61    67……

6N-1    5  11  17  23   29  35  41  47  53    59    65……           

  

我们发现这些数有一个特点,个位数7、3、9、5、1是以周期6重复出现的,我们可以用一个表表示:

行数\列数   1      2        3         4        5 

 1         30N+7   30N+13   30N+19   30N+25   30N+31

2         30N+5   30N+11   30N+17   30N+23   30N+29

其中,N是这一组的项数。

我们看到第2、第3、第5组都是相差2的数对,随着N的增大,这三组数对是有无穷多的。我们又知道在自然数里素数有无穷多个。

我们在6N-1数列里30N+11这个位置上取一些素数,再加2,即  6N-1+2=6N+1

这样就到了6N+1数列 30N+13 这个位置了。

即 (30N+11)+2=30N+13

设定30N+11这个位置我们选取的都是素数,相对应的30N+13这个位置我们知道数列6N+1里素数是有无穷多的,30N+13既可以是合数,也可以是素数。

我们知道那个位置上的素数是无穷多的。

所以,在自然数里素数对有无穷多对。

 

第二节   哥德巴赫猜想的证明

 

1482年哥德巴赫说:任何一个偶数都能表示为两个质数(素数)之和。一个大于7的奇数,总可以表示为3个素数之和。只要证明了前面的两个素数的问题,后面的那个奇数问题就不用再证明了。

 

什么是偶数,我们大家都知道。就是那些可以被2整除的数。按我们的分类方法就是数列6N+2和数列6N-2里面的数,被我们称之为真偶数的数。还有数列6N里的数,被我们称为奇偶数的数。就是这些数,

6N+2, 8、14、20、26、32、38、44、50、56、62、68、74……

6N     6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72……

6N-2, 4、10、16、22、28、34、40、46、52、58、64、70……

 

什么是素数,就是被我们称之为含素数公式里的那些素数,

6N+1   7  13  19  25  31  37  43  49  55  61  67  73  79  85……

 6N-1   5  11  17  23  29  35  41  47  53  59  65  71  77  83……

上面那些黑体斜体数字。主要特点是,除了被1和它自身整除外,不能被其它任何数字整除。就是说它本身不含任何因子。

1是一个单位,也可以认为是素数。还有2、3.

可以这样排,1、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、……

你要是这样排出一组数字,外星人一看就明白了,地球人的文明知道数学里有素数了。

理解偶数快一些,素数有点难。没关系,好好的想一想。想通了再往下看。

 

好了,哥德巴赫猜想就是这个意思,你任意拿出一个偶数来,可以小到2,大到无穷大。这个偶数都可以用两个素数之和来表示。举例,

偶数 26 可以 7+19, 偶数 52 可以 5+47,偶数 48 可以5+43 等等。他说,一个偶数可以表示成两个素数之和,其实。实际上一个偶数也是可以表示成多个偶数之和的。这也在他所限定的范围之内。这个结论表面一看是成立的。

就算你有多少个亿的数都成立,接近无穷多都成立,但是数学需要证明,需要逻辑的数学证明,证明无限多的情况里都是成立的。或是你找到了一个特例,一个偶数真的找不见用两个素数的和来表示。

这就是哥德巴赫猜想的本意。看懂了吗?好好想一想,不困难。

请问,这跟1+2和1+1有什么关系?

证明哥德巴赫猜想是不是成立,真的跟证明1+2和1+1没关系。

 

当自然数小于等于7时,哥德巴赫的猜想显然是成立的。

这个问题看似简单,你们一定看懂了。但是解决起来很困难。正是当时一流的数学家们解决不了,才给这个问题蒙上了一层神秘的面纱。

请看下面这个表,

公式\项数  1  2   3   4   5   6   7   8  ……

6N+3  9、15、21、27、33、39、45、51 ……

6N+2  8、14、20、26、32、38、44、50 ……

6N+1  7、13、19、25、31、37、43、49 ……

6N    6、12、18、24、30、36、42、48 ……

6N-1  5、11、17、23、29、35、41、47 ……

6N-2  4、10、16、22、28、34、40、46 ……

 

数列6N+2、6N-2和6N都是偶数,看公式,

(6x+1)+(6y+1)= 6(x+y)+2=6N+2    N=x+y

(6x—1)+(6y—1)= 6(x+y)—2=6N—2    N=x+y

 

(6x+1)+(6y—1)= 6(x+y)=6N          N=x+y

(6x-1)+(6y+1)= 6(x+y)=6N          N=x+y

 

这是什么意思呢?

其实,我们可以吧我们所研究的等差数列的值,记作A,看成自变量是项数N的函数。或是平面上的一条直线。也可以理解成是一个数轴。

在数轴6N+2上任取项数N,所对应的偶数是A.这个A等于数轴6N+1上的第1项的数与数轴6N+1上的第N-1项的数之和;等于数轴6N+1上的第2项的数与数轴6N+1上的第N-2项的数之和;或等于数轴6N+1上的第k项的数与数轴6N+1上的第N-k项的数之和.k=1、2、3……∞。

即,A={6×1+1}+{6(N-1)+1}={6×2+1}+{6(N-2)+1}

     ={6k+1}+{6(N-k)+1}= …… 

数轴6N+2上,偶数A的项数N,等于数轴6N+1上的第1项的项数与数轴6N+1上的第N-1项的项数之和;第2项的项数与第N-2项的项数之和;第k项的项数与第N-k项的项数之和.

即, N=1+(N-1)=2+(N-2)=k+(N-k)= ……

可以看到,他们可分成前后两部分之和。我们把6N+1的前项里的项数记作x,后项里的数记作y。

举例,取数轴6N+2第8项 N=8.则  A=6×8+2=50.  可用数轴6N+1上的数

{6×1+1}+{6(8-1)+1}={6×2+1}+{6(8-2)+1}=

{6×3+1}+{6(8-3)+1}={6×4+1}+{6(8-4)+1}

     A=50=7+43=13+37=19+31=25+25

数轴6N+2上的项数N=8, 等于数轴6N+1上的项数1+7、2+6、3+5、4+4.

8=1+7=2+6=5+3=4+4

这里可以用数学下一条定义。我们就不用了,知道这么个现实就行了:数轴6N+2上的任何一个偶数A的数值,可以用数轴6N+1上的第一项的数值与N-1项的数值之和,第二项的数值与N-2项的数值之和,第k项的数值与N-k项的数值之和。其所在项数N等于6N+1所在数值的前后项之和。

偶数6N-2和6N里的数都有相同的性质,我们省略了。重点放在6N+1进行研究。

我们看到,如果数轴6N+1和6N-1都是素数的话,证明就到此结束了。但是,那两个数轴里包含了合数。这样,我们就必须要面对6N+1和6N-1数轴里的素数分布规律了。

 

随着项数N的增大,只需统计两两相加的素数对是增多还是减少,即可证明哥德巴赫猜想。

 

第三节 写出大素数

                                                   

公式

6N+1

6N-1     其中,N为项数 N = 1、2、3 …… ∞  

既有合数也有素数,

6N+1有两个合数公式,即

x(6y+1)+y =N 和x(6y-1)-y =N   其中,x=1、2、3….. y=1、2、3…..

 

6N-1也有两个合数公式,即

x(6y+1)-y =N 和x(6y-1)+y =N   其中,x=1、2、3….. y=1、2、3…..

但是它可以使用一个,为简单起见,我们就以6N-1为例子

  

寻找大素数方法的原理与古老的筛法一样,有一点是根本不同的,那就是我们给每一个合数和素数都对应了一个项数N,这样一来我们就可以用公式来研究素数的规律和用计算写出大的素数来。

 

分解6N-1的合数公式如下,

N1=5k+1  

N2=11k+2

N3=17k+3

N4=23k+4

……

   Nn=(6n-1)k+n

   ……

   设 Sm 是一个已知的大素数,它所在的项数是Nm。那么由它产生的第一个它的合数项是Sm+Nm。在这个项数的区间里,除去它前面的所有合数的项,剩下的项就都是素数项。这完全可以由计算做得到,而古老的筛法无法做到。

   由此也可以明显的看到素数产生的过程和原因。

 

{后记} 以上公式基本上反映了自然数的内在规律,可以继《几何原本》后竖起了数学的另一个支柱《自然数原理》,其意义是不言而喻的。

 

                                                                                                 2013年10月10日    晚

 

   

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