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工程师,下岗的,业余喜欢数学和写小说。

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数学,心灵的艺术(3)--我自己的故事  

2012-12-27 15:18:31|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学,心灵的艺术(3)

                                                      ——我自己的故事

    5、

上篇那个数组看出来点什么门道?

是的,它们的个位数是以30为周期重复出现的。如,11、41、71……,这样你就可以用30个等差数列来表示自然数了,如下式

30(n-1)+1

30(n-1)+2

30(n-1)+3

……

30(n-1)+30       n = 1、2、3……∞     

用这组公式写出一组数,继续观察你会发现,也可以用300个等差公式表示自然数

300(n-1)+1

300(n-1)+2

300(n-1)+3

……

300(n-1)+300       n = 1、2、3……∞   。也可用3000(n-1)+A、30000(n-1)+A……来表示,总结为:用一组3×10n(n-1)+A   (A为自然数)的等差数列来表示全部自然数。并且,这些等差数列有无穷多组。我们总结出第一条性质

 全部自然数可以用3×10n(n-1)+A来表示全部自然数,其中,A为从1到3×10n  的自然数, n = 1、2、3……∞。特别,当n = 0时,这组公式就是由三组等差数列组成的自然数的基本公式。

这是因为组成自然数最基本的等差公式有三个,而我们是采用是十进位制,所以就出现了以三的倍数,十的N次方的周期,自然数的尾数(可以是多位数)会周期性的重复出现的规律。

数学语言就是这样,必须要高度的抽象,听懂吗?其实并不难,需要的是用张纸反复的写,找到了规律后就可以抽象的表示了。这种抽象就像机械制图,图纸是工程语言,用图纸说话制造产品。数学语言也是把数学的规律概括化了。是不是有点专业化了?后面我尽力还是用科普言语说话。

请把那30(n-1)+1……30的30个公式,仔细的观察一下,挑出

30(n-1)+1、

30(n-1)+7

30(n-1)+11

30(n-1)+13

30(n-1)+17

30(n-1)+19

30(n-1)+23

30(n-1)+29           n = 1、2、3……∞      这八个公式来,你写出一组数字认真观察,你会得到结论,

 在以30倍相乘的30个等差数列中,只有初始位置是1、7、11、13、17、19、23、29八个等差数列中,包含了自然数中除2、3、5之外的全部质数。并且,依性质1.1,可知这八个公式可以扩展为无穷多个含质数等差公式。

 无穷多个含质数公式中,不会有任何一个是纯质数公式,因为任何一个公式中出现质数后,按这个质数给定的数字数下去,就是由这个质数组成的合数,例如公式 30(n-1)+7 得到一串数为:7、37、67、97、127、157、187、217、247……。从37开始数,数到7位时是217,而217=31X7 是一个含质数7的合数。(这个问题我们以后还要详细探讨)我们得到初步的结论是:用初等数学公式的方法,不会有纯质数公式存在。费马给出过22n  +1,但是这个公式不是纯质数公式。其它数学家还有其它的一些公式,都失败了。

这仅仅是刚刚开始,你有没有站在山巅的感觉?我们的目的是登上月球,踏上火星!  

                         

6、

在前面的篇章里,我们讲过自然数的基本公式可以利用项数n的奇偶性将三个等差公式推导出一组六个公式,如下,

6(n-1)+1                                  

6(n-1)+2                                  

6(n-1)+3                                 

6(n-1)+4                               

6(n-1)+5

6(n-1)+6            n = 1、2、3…… ∞        这一组六个公式跟图片有着惊人的一致。

这六个公式依据n的奇偶性可以变成12(n-1)+A 、24(n-1)+A、48(n-1)+A……等无穷多组等差公式,并且,按周期重新组合可以回到3×10n(n-1)+A公式中去。例如,按上面六个公式写出一组数据,它们个位数重复出现的周期是6,实际是5个数,5乘公式数6等于30。又回到了30(n-1)+A 的形式。

自然数基本公式,可以依据项数n的奇偶性可以依此扩展为3×2n (n-1)+A ,并且与3×10n(n-1)+A是交叉递进的。

 

下面我们讲自然数分来公式的性质,如下

6N+3

6N+2

6N+1

6N

6N-1

6N-2                N = 1、2、3…… ∞    (取名自然数分类公式)

这个公式是由上面那个6个公式变形得到的,讲了下面的内容你就会感到它的变形极其重要。

1、  自然数1、2、3称为基础数,其中,1叫做单位;

2、  公式6N+3  n = 1、2、3…… ∞  称为含3的奇数,例如,9、15、21、27……,它们的特点是个位、十位、百位……上的数字相加后是3的倍数。也就是说这一类数含有因子3。

   3、  公式6N+2和6N-2  n = 1、2、3…… ∞ 称为真偶数。特点,它们都含因子2。

   4、  公式6N+1和6N-1  n = 1、2、3…… ∞ 称为含质数。特点,它们中有质数和由这些质数形成的合数。例如,5、7、11、13、17、19、23、25、29、31…49…121…。

  5、  公式6N  n = 1、2、3…… ∞ 称为奇偶数。特点,它们都含因子2和3。例如,6、12、18、24、30……。

我们把自然数分成这五类数,研究自然数就有了依据,并且中小学生做算术题也有了数字分类的概念。怎么样,相信吗,总有一天这些东西会写进中小学生的数学教科书里的。

以上就是发现了自然数的规律后,人为的把它归纳整理出来,其目的就是我们更好地应用自然数的固有规律解决现实中的问题。

 

轻松一下,讲一个我的经历。

开始那几年由于给私企老板打工太累,一个人干三个人的活,还经常没有公休日。更要命的是老板们可以上午九点以后上班,下午午休后4、5点才工作。每到下班后,员工都累了盼着回家,这时老板们到来了精神经常要人们加班,还不给加班费。在一家大的民营企业的经历,下午5点主管部门领导来了,五点半下班,主管坐在那里不动,其它职员也不敢动,直到晚上11点了,主管说下班了,人们才敢回家。有时奴才比老板还黑!不干了,看到报纸上不少民办技工学校、中学招教师,自己做过几年技工学校的教师,所以就去招聘。去了几家都不要我,有点着急了。到了一家民办中学,我要应聘数学教师,面试时我说我可以证明哥德巴赫猜想(自己也没把握),我发现在场的人都笑了,结果不用讲了。失望的走出了大门,看一看四下无人,放下自行车,跺着脚大叫:我就能证明,等老子出了名,就是你们用八抬大轿抬我,我也不来了!人到了这种地步真有讨饭的感觉!需要阿Q精神,要不真的不好活。后来有一个教师几句话点透了我。她说:你岁数大了,不要往这行挤了,年轻人竞争都很激烈,你凑什么热闹!条件35岁以下!     

 

              

 

7、

现在看下面的一个图表,( )

技术原因,放不上去,此处省略。

仔细的研究这个表,多看几天,你会大有收获的。

注意,在数列6N+2任找一个数,比如第5项N= 32,它就等于数列6N+1上的7+25=13+19。

同样,在数列6N-2任找一个数,比如第5项N= 28, 它就等于数列6N-1上的5+23=11+17。

      在数列6N任找一个数,比如第9项N= 54,它就等于数列6N+1和6N-1上的7+47=13+41=19+35=25+29。  另一行,5+49=11+43=17+37=23+31 ,两行交叉相加。

你可以看到,6N+2、6N-2和6N数列中的数都是偶数,而6N+1和6N-1数列中的数包含着自然数中的全部质数。这就意味着,自然数中的任何一个偶数总可以表示成一个质数和一个含质数的合数之和。这个道理简单明了,不用证明。

自然数中的任何一个质数,都可以表示成一个质数和另一个不大于含两个质数的合数之和。

例如,56,是7+49或13+43、19+37…。在它的前部分数里,你总可以任选一个质数,而后半部分即可能是质数,也可能是合数。

 

这个观点是重要的,似乎接近了哥德巴赫猜想,但是有一首诗:月亮露出了你的笑脸,我追寻你趟过河流登上高山。伸出我的双手就要把你揽入我的胸前,脚下却让我陷入万丈深渊。像那个电影《遥远的桥》看得见,伸手可得,却遥不及。不过,我们是可以登上月球的。

现在,深入探讨含质数公式的性质变得迫切和重要了,就是这个公式

 6N+1

 6N-1      N = 1、2、3、4…… ∞          建立一个表格,如下

(   )发不上去,省略。

篇幅所限,我不能写的更长,干这行就是浪费纸,你可以写一串很长的数,各位数是5的不用管它,因为我们直观的就可以看出它是含质数5的合数。认真地把7的合数、11、13、17……的合数用不同的记号圈起来,你会发现以下性质,

 

    上表包含了除2、3以外的全部质数,以及由质数形成的合数;可以看成数列6N+1和数列6N-1上布满了质数,而合数是按KP+a的一定周期从这两个数列中筛出的。K可取1、2、3…∞,P为质数,a为这个质数的初始位置。

例如,取11,它是一个质数,在第2项上,N = 2。从它后的数13数起数到11,就是第13项77,它是一个含质数11的合数。同样,从7的后面开始数 ,数到7是第8项,对应的数是49,是含7的合数,这样一质数下去,你在6N+1行里就可以去掉7的全部合数了。能看懂KP+6N-1这个公式更好,因为在6N-1里也有含7的合数,关键是你要找到它的初始位置,就是那个a 。

用公式法和数数法,可以去掉全部合数,这是一种新的筛法。

数列6N+1与这些表达式是等价的,

数列6(N-1)+7、 6(N-2)+13、 6(N-3)+19 ……

数列6N-1与上同理。

     当质数7与 6(N-1)+7相加时,随着N的增加总会有两个质数相加的情况出现。

     同理,13与6(N-2)+13相加时,结果一样。以此类推。

上面这几句话,可以这样理解。你随便找一个大点的偶数,比如是62。

数列6N+2上K项的任一个偶数EK 总可以用数列6N+1上K/2组前项p与后项q相加而得到。例如,N=10时,6N+2=6×10+2=62, 6N+1的前9项是7、13、19、25、31、37、43、49、55。          62=7+55=13+49=19+43=25+37      其中,剩余1项 31。

     用公式表示为,EK=pK+qk = p1+q K-1= p2+q K-2 = p3+q K-3 = ……

在数列6N+1上,项数N为偶数时,有N/2对数相加;项数N为奇数时,有N/2对数相加,中部剩余1项。

把前项放在左侧,把后项放在右侧,然后套用公式表示。

    数列上的合数是这样产生的,5×(6N-1)、7×(6N+1)、11×(6N-1)……。根据这个规律可以解方程判断一个数是不是质数。

设P是数列第K项上的一个质数,那么第P+K项就是由P产生的第一个合数,而由P到 P+K的全部项数中,一定会有新的质数出现。

 

上面讲得真的搞懂了也不容易。

上面讲的这些可以表示成4个公式,把一个短文的内容放在下面就可以理解我发现的自然数的规律的重要性了。

 

8、

我们知道自然数1、2、3、4、5……里有素数。但是对于一个很大的自然数我们不好判断是合数还是素数,用我发现的方法理论上是可以判断的。

看这两个等差数列公式,

6N+1和6N-1,N是项数,可取1、2、3…∞,这里面包含了除1、2、3外的自然数里的全部素数。

下面这四个公式,

x(6y+1)+y=N 、x(6y-1)-y=N、x(6y+1)-y=N和x(6y-1)+y=N

其中,x y 是第一个两个素数相乘的项数。N还是6N+1和6N-1的项数。

x可取1、2、3……,y可取1、2、3……

 

那么,只要项数N满足这4个方程里至少一个方程成立,这个项数N所对应的数就是合数。否则项数N所对应的数就是素数。

这在理论上是行得通的。

 2009年11月21日

                                        2012年12月27日星期四整理

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